BLOG

材料力学上半学期公式总结

AuthorEthan

Type课程🧑🏻‍🏫

CreatedApr 27, 2026, 17:12:11

UpdatedApr 27, 2026, 17:15:44

Views —

Words766

一、 截面几何性质

• 静矩：$S_y = \iint z dA$ ， $S_z = \iint y dA$
• 形心坐标：$y_C = \frac{S_z}{A}$ ， $z_C = \frac{S_y}{A}$
• 惯性矩：$I_y = \iint z^2 dA$ ， $I_z = \iint y^2 dA$
• 惯性积：$I_{yz} = \iint yz dA$
• 极惯性矩：$I_p = \iint \rho^2 dA = I_y + I_z$
• 平行移轴定理：$I_y = I_{y_c} + a^2 A$ ， $I_z = I_{z_c} + b^2 A$
• 主惯性轴方向：$\tan 2\alpha_0 = -\frac{2I_{yz}}{I_y - I_z}$

二、 应力、应变与胡克定律

• 单向拉伸胡克定律：$\sigma = E \epsilon$
• 泊松比：$\nu = -\frac{\epsilon'}{\epsilon}$
• 剪切胡克定律：$\tau = G \gamma$
• 广义胡克定律： $\epsilon_x = \frac{1}{E}[\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]$ $\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G}$
• 弹性常数关系：$G = \frac{E}{2(1+\nu)}$，体积模量 $K = \frac{E}{3(1-2\nu)}$

三、 平面应力状态与应力圆

• 任意斜截面应力（坐标变换公式）： $\sigma_n = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\alpha - \tau_{xy}\sin 2\alpha$ $\tau_n = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\alpha + \tau_{xy}\cos 2\alpha$
• 主应力公式：$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$
• 主平面方向：$\tan 2\alpha_p = -\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$
• 最大切应力：$\tau_{max} = \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2} = \frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}$

四、 强度理论 (Failure Theories)

• 第一强度理论（最大拉应力理论）：$\sigma_1 = \sigma_b$
• 第二强度理论（最大伸长应变理论）：$\sigma_1 - \nu(\sigma_2 + \sigma_3) = \sigma_b$
• 第三强度理论（最大切应力理论 / Tresca 准则）：$\sigma_1 - \sigma_3 = \sigma_s$
• 第四强度理论（最大形状改变能理论 / Mises 准则）：$\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2} = \sigma_s$

五、 杆件基本变形与组合变形

• 轴向拉伸/压缩：
  • 横截面正应力：$\sigma = \frac{N}{A}$
  • 轴向变形量（线弹性）：$\Delta l = \frac{N l}{E A}$
• 圆轴扭转：
  • 横截面切应力：$\tau_\rho = \frac{M_x \rho}{I_p}$
  • 最大切应力强度条件：$\tau_{max} = \frac{M_x}{W_p} \le [\tau]$
  • 单位长度扭转角：$\theta = \frac{M_x}{G I_p}$
  • 两端面相对扭转角：$\Delta \phi = \frac{M_x L}{G I_p}$
• 薄壁筒自由扭转：
  • 闭口薄壁切应力：$\tau = \frac{M_x}{2 h A_m}$ （$A_m$ 为中线围成的面积）
• 弯曲：
  • 微积分关系：$\frac{dQ}{dx} = q(x)$， $\frac{dM}{dx} = Q(x)$
  • 横截面正应力：$\sigma_x = -\frac{M_z y}{I_z}$
  • 横截面切应力：$\tau = -\frac{Q_y S_z^*}{I_z b}$ （$S_z^*$ 为横截面部分面积对中性轴的静矩）
• 非对称弯曲与组合变形：
  • 应力叠加计算：$\sigma_x = \frac{N}{A} + \frac{M_y z}{I_y} - \frac{M_z y}{I_z}$

六、 弹性应变能

• 单向拉伸比能：$u = \frac{1}{2} \sigma \epsilon = \frac{\sigma^2}{2E}$
• 纯剪切比能：$u = \frac{1}{2} \tau \gamma = \frac{\tau^2}{2G}$
• 三向应力状态比能：$u = \frac{1}{2}(\sigma_1\epsilon_1 + \sigma_2\epsilon_2 + \sigma_3\epsilon_3)$
• 拉压杆总应变能：$U = \frac{N^2 l}{2 E A}$
• 圆轴扭转总应变能：$U = \int \frac{M_x^2}{2 G I_p} dx$