零平均动量的高斯波包（ $K_0 = 0$）

当波包的中心动量 $K_0 = 0$ 时（其中 $K$ 与动量 $P$ 通过 $P = \hbar K$ 关联），这意味着波包的平均动量为零。在这种情况下，波包在实空间（位置空间）中的中心位置是不变的，它只会随着时间的推移而在原地展宽。这与我们日常经验中物体会运动的直觉可能有所不同，但对于一个平均动量为零的量子粒子而言，这是非常合理的行为。

其在位置空间中的函数形式为：

其中 $x_0$ 是波包的中心位置， $\sigma^2(t)$ 描述了波包随时间展宽的程度， $A(t)$ 是归一化因子。当 $K_0=0$ 时， $x_0$ 保持不变。

非零平均动量的高斯波包（ $K_0 \neq 0$）

如果 $K_0 \neq 0$，则波包具有一个非零的平均动量。在这种情况下，波包在展宽的同时，其中心位置也会随时间线性变化。波包的中心位置 $X_{center}(t)$ 遵循以下规律：

其中 $X_0$ 是初始时刻波包的中心位置， $m$ 是粒子的质量。从上式中我们可以提取出一个速度 $v_{center} = \frac{\hbar K_0}{m}$。这个速度可以被等效地理解为经典力学中的速度，即动量除以质量。这与我们之前通过德布罗意关系 $P = \hbar K$ 所建立的动量概念相呼应，从而在量子力学与经典力学之间建立了一定的关联。

物理含义上，这表示一个具有初始动量的量子波包在空间中传播，同时由于其内在的波动性而逐渐展宽，最终会扩散开来。这类似于一束激光在传播过程中会发散的现象。

动量计算的一般方法引入

通过观察高斯波包中心点的运动来计算速度或动量，这种方法非常直观。然而，这种显而易见的数学图像并非适用于所有情况。对于更复杂的量子体系或没有明确数学图像的波函数，我们无法直接通过观察波包中心运动来获得其平均速度或动量。

此外，由于海森堡不确定关系 $\Delta X \Delta P \ge \hbar/2$，一个具有有限宽度的波包（ $\Delta X > 0$）不可能具有一个明确的、单一的动量值（ $\Delta P = 0$）。因此，我们需要计算的是“平均动量”或“动量期望值”。

为了解决这个问题，量子力学提供了一套标准化的方法来计算物理量的期望值。

物理量的期望值

在量子力学中，任何可观测的物理量都对应着一个 Hermitian 算符。例如，动量 $P$ 在量子力学中对应着动量算符 $\hat{P}$。在位置表象中，动量算符 $\hat{P}$ 被表示为：

其中 $i$ 是虚数单位， $\hbar$ 是约化普朗克常数， $\frac{\partial}{\partial x}$ 是对位置 $x$ 的偏导数。

对于一个已经归一化（规范化）的量子态，其波函数为 $\Psi(x)$，物理量 $\hat{A}$ 的期望值（或平均值）的计算公式为：

这个积分是在整个位置空间中进行的（通常是从负无穷到正无穷，除非有边界限制）。

• $\Psi^*(x)$ 是波函数 $\Psi(x)$ 的复共轭。
• $\hat{A}$ 是对应物理量 $A$ 的算符。
• $\Psi(x)$ 是归一化后的波函数。

这个公式的物理意义是：算符 $\hat{A}$ 作用在波函数 $\Psi(x)$ 上，生成一个新的函数 $\hat{A}\Psi(x)$。然后将这个新函数与波函数的复共轭 $\Psi^*(x)$ 相乘，再对整个空间进行积分，得到的实数结果就是物理量 $A$ 的期望值。这个方法是普遍适用于任何物理量的期望值计算的，例如，若要计算能量的期望值，则将 $\hat{A}$ 替换为哈密顿算符 $\hat{H}$；若要计算位置的期望值，则将 $\hat{A}$ 替换为位置算符 $\hat{X}$（即简单的乘法算符 $x$）。

以动量期望值为例，其展开形式为：

量子谐振子

量子谐振子（Quantum Harmonic Oscillator）是一个在物理学中无处不在且极其重要的模型。它不仅是初学者入门量子力学时必学的模型，而且其概念和方法贯穿于凝聚态物理、量子场论等许多高级量子力学领域。

量子谐振子的重要性

量子谐振子模型之所以如此重要，主要有以下两个原因：

1. 作为普适的近似模型：

   • 在许多物理体系中，特别是凝聚态物质（如固体材料）中，原子或电子通常会在其平衡位置附近进行小幅振动。
   • 任何一个势能函数 $V(x)$，只要它在一个平衡位置 $x_0$ 处具有导数为零（ $V'(x_0)=0$），并且势能面足够光滑，就可以在 $x_0$ 附近进行泰勒展开。

   • 泰勒展开的一般形式为：

     $$V(x) = V(x_0) + V'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}V''(x_0)(x-x_0)^2 + \frac{1}{6}V'''(x_0)(x-x_0)^3 + \dots$$
   • 在平衡位置 $x_0$ 处，由于 $V'(x_0) = 0$，且通常可以将 $V(x_0)$ 视为势能的参考点（常数项不影响运动），如果我们只考虑小范围振动（即 $(x-x_0)$ 非常小），那么高阶项 $(x-x_0)^3, (x-x_0)^4, \dots$ 可以被忽略。

   • 此时，势能函数可以近似为：

     $$V(x) \approx \frac{1}{2} k (x-x_0)^2$$

     其中 $k = V''(x_0)$ 是“弹簧常数”。这正是简谐振子的势能形式。

   • 这个模型能够很好地近似描述原子在较低温度下的振动行为，以及对外力的响应等性质。
   • 局限性： 简谐振子模型由于其势能函数是完全对称的（二次函数），无法解释一些重要的物理现象，例如热膨胀（升温后平衡位置会偏移，体积会膨胀）和热传导（需要考虑声子之间的非简谐相互作用，即泰勒展开中的三阶、四阶等高阶项）。然而，尽管存在这些局限性，其在许多情况下仍是一个非常好的近似。

2. 存在解析解：

   • 在物理学中，能够获得解析解的模型极其稀有且珍贵。量子谐振子是少数拥有完整解析解的非平凡量子体系之一。
   • 这意味着我们可以精确地计算其能量本征值和本征函数，而无需进行复杂的数值计算。
   • 这使得它成为理解复杂物理体系行为的基础和参考。许多复杂的量子系统可以通过将其近似为一系列简谐振子来处理。

量子谐振子的哈密顿量与薛定谔方程

我们来研究一维量子谐振子的解析解，包括其能量本征值和本征函数。首先，我们需要构建其哈密顿量。

在一维情况下，哈密顿量 $\hat{H}$ 由动能算符和势能算符两部分组成：

其中：

• $m$ 是粒子的质量。
• $\omega$ 是谐振子的角频率（与经典力学中的谐振子角频率相同）。
• $-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}$ 是动能算符。
• $\frac{1}{2}m\omega^2 x^2$ 是谐振势能。

然后，我们需要将其代入定态薛定谔方程：

即：

为了简化方程，我们引入一个无量纲的坐标 $y$ 和一个无量纲的能量 $E'$：

• 坐标变换： 设 $y = \alpha x$，其中 $\alpha = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$。
• 能量变换： 设 $E' = \frac{2E}{\hbar\omega}$。

经过这些变换后，原始的定态薛定谔方程将简化为：

我们的目标是解出这个简化的微分方程，从而得到 $\Psi(y)$ 和对应的 $E'$（进而得到 $E$）。

试探性解法：基态

观察简化后的薛定谔方程 $\frac{d^2\Psi}{dy^2} - y^2\Psi = -E'\Psi$。当 $y$ 很大时， $y^2\Psi$ 项会占主导地位，导致 $\frac{d^2\Psi}{dy^2} \approx y^2\Psi$。这个形式暗示解可能包含 $e^{-y^2/2}$ 这样的衰减项（因为我们期望波函数是束缚态，在无穷远处衰减）。

我们尝试一个试探性的解的形式： $\Psi(y) = A e^{-y^2/2}$ （其中 $A$ 是一个常数）。

1. 计算一阶导数：

   $$\frac{d\Psi}{dy} = A (-y) e^{-y^2/2} = -y\Psi$$

2. 计算二阶导数：

   $$\frac{d^2\Psi}{dy^2} = (-1)\Psi + (-y)\frac{d\Psi}{dy} = -\Psi + (-y)(-y\Psi) = (y^2-1)\Psi$$

3. 将 $\frac{d^2\Psi}{dy^2}$ 代回简化的薛定谔方程：

   $$(y^2-1)\Psi - y^2\Psi = -E'\Psi$$
   $$-\Psi = -E'\Psi$$

   由此得到 $E' = 1$。 将 $E' = 1$ 代回能量变换关系 $E' = \frac{2E}{\hbar\omega}$，我们得到：

   $$1 = \frac{2E}{\hbar\omega} \implies E = \frac{1}{2}\hbar\omega$$

   这就是量子谐振子的基态能量。对应的波函数为 $\Psi_0(y) = A e^{-y^2/2}$。

普适的渐进行为

上述方法只找到了一个解，即基态。然而，谐振子应该有许多本征态。为了找到所有本征态，我们需要更系统的方法。

首先，我们再次关注简化方程 $\frac{d^2\Psi}{dy^2} - y^2\Psi = -E'\Psi$ 在 $|y| \to \infty$ 时的渐进行为。当 $|y|$ 变得非常大时， $y^2\Psi$ 会远远大于常数项 $E'\Psi$。因此，方程可以近似为：

为了保证波函数是可归一化的束缚态（即在无穷远处衰减到零），此渐进行为的主导项必须是指数衰减的。我们刚才的尝试解 $e^{-y^2/2}$ 就满足这个条件。任何其他形式，例如 $e^{y^2/2}$，都会导致波函数发散，从而无法归一化。

所以，我们可以推断出，所有量子谐振子的本征波函数，当 $|y|$ 很大时，其渐进行为都会由 $e^{-y^2/2}$ 项主导。

多项式展开法

基于上述发现，我们可以假设量子谐振子的本征波函数具有以下形式：

其中 $H(y)$ 是一个多项式（这被称为 Frobenius 方法，或更具体地，通过厄米特多项式）。将此形式代入简化的薛定谔方程 $\frac{d^2\Psi}{dy^2} - y^2\Psi = -E'\Psi$，经过一番推导会得到一个关于 $H(y)$ 的微分方程，即厄米特微分方程：

接下来，我们假设 $H(y)$ 可以展开成一个幂级数（多项式，如果它有界的话）：

将此幂级数代入厄米特微分方程，并比较 $y^p$ 的同次幂系数为零，可以得到一个关于系数 $a_p$ 的递推关系：

从中我们可以得到：

这个递推关系有一个显著特点：它将 $a_p$ 与 $a_{p+2}$ 关联起来。这意味着偶数项的系数 ( $a_0, a_2, a_4, \dots$ ) 相互关联，而奇数项的系数 ( $a_1, a_3, a_5, \dots$ ) 也相互关联，但偶数项和奇数项之间没有直接关联。

对称性分析： 这个特点是物理上合理的。量子谐振子的势能函数 $V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$ 是一个偶函数（关于 $x=0$ 对称）。对于一个在对称势阱中的束缚态，其波函数必须具有确定的宇称性，即它要么是关于原点的偶函数 $(\Psi(-x) = \Psi(x))$，要么是奇函数 $(\Psi(-x) = -\Psi(x))$。

• 如果 $\Psi(y)$ 是偶函数，那么 $H(y)$ 也必须是偶函数，即只包含偶次幂项（ $a_p$ 只有在 $p$ 为偶数时才非零）。
• 如果 $\Psi(y)$ 是奇函数，那么 $H(y)$ 也必须是奇函数，即只包含奇次幂项（ $a_p$ 只有在 $p$ 为奇数时才非零）。 这与我们得到的递推关系完全一致，因为它确实将奇偶项分开了。

截断条件与能量量子化

如果多项式 $H(y) = \sum_{p=0}^{\infty} a_p y^p$ 是一个无限级数，那么我们需要检查其在 $p \to \infty$ 时的渐进行为。 当 $p$ 足够大时，递推关系近似为：

这种递推关系与 $e^{y^2} = \sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{(p/2)!} y^{2p}$ 的泰勒展开系数行为相似 (对于偶数项，其递推关系为 $b_{p+2}/b_p \approx 2/p$)。 这意味着，如果 $H(y)$ 是一个无穷级数，那么它在 $y \to \infty$ 时的行为将类似于 $e^{y^2}$。 这样一来，我们假设的波函数 $\Psi(y) = H(y) e^{-y^2/2}$ 在 $y \to \infty$ 时就将表现为 $e^{y^2} e^{-y^2/2} = e^{y^2/2}$，这个函数是发散的，无法归一化。

为了使波函数可归一化，即在无穷远处衰减到零，多项式 $H(y)$ 必须是一个有限级数，这意味着它必须在某个项之后截断。截断条件是，对于某个最大的 $p$ 值（我们称之为 $n$），使得 $a_{n+2}=0$，那么所有更高次的系数 ( $a_{n+4}, a_{n+6}, \dots$) 也将为零。

根据递推关系 $a_{p+2} = \frac{2p - E' + 1}{(p+2)(p+1)} a_p$，要使 $a_{n+2}=0$ (且 $a_n \neq 0$)，则分子必须为零：

由此得到 $E' = 2n + 1$，其中 $n$ 可以取 $0, 1, 2, \dots$。 将 $E' = 2n+1$ 代回能量变换关系 $E' = \frac{2E}{\hbar\omega}$：

最终我们得到量子谐振子的能量本征值，即能量是量子化的：

这个结果揭示了量子谐振子能量谱的几个关键特征：

• 能量是离散的： 能量只能取特定的值而非连续的。
• 等间距： 不同能级之间的间隔是等距的，均为 $\Delta E = E_{n+1} - E_n = \hbar\omega$。
• 零点能（Zero-point energy）： 最低能量（基态，当 $n=0$ 时）不为零，而是 $E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega$。这被称为零点能，是量子力学独有的现象，在经典力学中没有对应物（经典谐振子静止时能量为零）。这意味着即使在绝对零度，量子系统也存在着不可避免的最低能量。

本征函数

与能量本征值相对应的是本征函数。截断的多项式 $H(y)$ 实际上就是厄米特多项式 $H_n(y)$。因此，量子谐振子的本征波函数为：

其中 $N_n$ 是归一化常数，$H_n(y)$ 是第 $n$ 阶厄米特多项式。

• 基态（ $n=0$）： $E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega$。对应的厄米特多项式为 $H_0(y) = 1$。 波函数为 $\Psi_0(y) = N_0 e^{-y^2/2}$。这是一个偶函数。
• 第一激发态（ $n=1$）： $E_1 = \frac{3}{2}\hbar\omega$。对应的厄米特多项式为 $H_1(y) = 2y$。 波函数为 $\Psi_1(y) = N_1 (2y) e^{-y^2/2}$。这是一个奇函数。
• 第二激发态（ $n=2$）： $E_2 = \frac{5}{2}\hbar\omega$。对应的厄米特多项式为 $H_2(y) = 4y^2 - 2$。 波函数为 $\Psi_2(y) = N_2 (4y^2 - 2) e^{-y^2/2}$。这是一个偶函数。 可以看到，本征函数的宇称性（奇偶性）是交替出现的，这与我们之前的对称性分析吻合。

量子谐振子波函数的性质分析

通过对这些本征函数进行分析，我们可以了解量子谐振子的一些重要性质。

1. 平均位置和平均动量： 对于任何一个定态 $\Psi_n(x)$，其平均位置 $\langle X \rangle$ 和平均动量 $\langle P \rangle$ 均为零。

   • 平均位置： $\langle \hat{X} \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi_n^*(x) x \Psi_n(x) dx$。 由于 $|\Psi_n(x)|^2$ 是一个偶函数（因为 $\Psi_n(x)$ 具有确定的奇偶性，其模方总是偶函数），而 $x$ 是一个奇函数，所以被积函数 $x|\Psi_n(x)|^2$ 是一个奇函数。奇函数在对称区间 $(-\infty, +\infty)$ 上的积分结果为零。 因此，对于所有量子谐振子定态， $\langle \hat{X} \rangle = 0$。这与经典谐振子在平衡位置处的平均位置为零相符。
   • 平均动量： $\langle \hat{P} \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi_n^*(x) \left(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\right) \Psi_n(x) dx$。 类似地，通过分析被积函数的奇偶性，也可以证明 $\langle \hat{P} \rangle = 0$。这与经典谐振子在一个周期内的平均动量为零相符。

2. 波函数图像与能量的关系：

   • 振荡与动能： 能量越高，波函数震荡越剧烈，表现出更多的节点。波函数的震荡频率（或空间频率）与动能有关。二阶导数的大小反映了波函数的弯曲程度，即震荡的剧烈程度，也与动能算符直接关联。
   • 图示表明，在势阱（谐振子势能曲线）的底部区域，波函数震荡最快，这对应了粒子在此处动能最大（因为势能最小，总能量减势能）。这与经典谐振子在平衡位置速度最快，动能最大的行为是对应的。
   • 概率分布与经典对应： 对于低能级（较小的 $n$），波函数的概率密度 $|\Psi_n(x)|^2$ 在势阱中心附近达到峰值。然而，对于高能级（较大的 $n$），概率密度在靠近经典转向点（即粒子运动范围的边缘，经典粒子速度为零处）变得最大。这与经典力学对应，经典谐振子在转向点附近速度最慢，因此在那里停留的时间最长，被发现的概率最大。这是量子力学与经典力学在宏观极限下趋于一致的一个例子，即对应原理。

束缚态与散射态

在解决定态薛定谔方程的不同物理模型中，我们通常可以将解分为两类：束缚态（Bound States）和散射态（Scattering States），或称非束缚态。这种分类主要取决于粒子的总能量 $E$ 与势能 $V(x)$ 在无穷远处的行为。

我们考虑一类势能 $V(x)$，它在 $x \to \pm\infty$ 时趋近于一个常数（例如，我们可以设定这个常数为零，$V(\pm\infty) = 0$）。

1. 散射态 (Scattering States)：

   • 当粒子的总能量 $E$ 大于势能 $V(x)$ 在无穷远处的极限值时（例如 $E > 0$），粒子拥有足够的能量逃逸到无穷远处。
   • 在这种情况下，粒子被称为处于散射态。

   • 在无穷远处（ $|x| \to \infty$），势能 $V(x)$ 趋于一个常数（例如零），薛定谔方程简化为自由粒子的方程：

     $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} = E\Psi(x)$$
   • 其解为平面波形式： $\Psi(x) \sim e^{\pm ikx}$，其中 $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ 且 $k$ 是一个实数。
   • 散射态的波函数通常是无法归一化的，它们代表粒子在空间中自由传播，例如电子穿过晶格或粒子碰撞等现象。高斯波包在 $K_0 \neq 0$ 且无限展宽的情况下，最终会趋近于散射态。

2. 束缚态 (Bound States)：

   • 当粒子的总能量 $E$ 小于势能 $V(x)$ 在无穷远处的极限值时（例如 $E < 0$），粒子被“束缚”在势阱内部，无法逃逸到无穷远处。
   • 在这种情况下，粒子被称为处于束缚态。

   • 在无穷远处（ $|x| \to \infty$），薛定谔方程的渐进行为为：

     $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} + V(\infty)\Psi(x) = E\Psi(x)$$

   • 如果我们将 $V(\infty)=0$ 作为参考，那么 $E<0$。设 $E = -|E|$。方程变为：

     $$\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} = \frac{2m|E|}{\hbar^2}\Psi(x)$$
   • 其解为指数衰减形式： $\Psi(x) \sim e^{\pm \kappa x}$，其中 $\kappa = \frac{\sqrt{2m|E|}}{\hbar}$ 且 $\kappa$ 是一个实数。
   • 为了使波函数可归一化，它必须在无穷远处衰减到零：
     • 当 $x \to +\infty$ 时，波函数必须为 $\Psi(x) \sim e^{-\kappa x}$。
     • 当 $x \to -\infty$ 时，波函数必须为 $\Psi(x) \sim e^{+\kappa x}$。
   • 这种指数衰减的行为保证了波函数在整个空间积分有限，从而可以进行归一化。量子谐振子是一个典型的束缚态体系，尽管它的势能在无穷远处发散为正无穷，导致其波函数衰减得比简单的指数衰减 ( $e^{-\kappa x}$) 还要快（ $e^{-y^2/2}$）。这体现了势能对波函数衰减行为的影响：越强的束缚，波函数在势阱外的衰减越快。

有限深势阱模型

接下来，我们将开始研究一个具体的束缚态模型——有限深势阱 (Finite Square Well)。这个模型广泛应用于近似描述固体中原子核对电子的束缚作用等。

模型定义如下：

• 在区间 $-A \le x \le A$ 内，势能为 $V(x) = -V_0$。
• 在区间 $|x| > A$ 外，势能为 $V(x) = 0$。 其中， $V_0 > 0$ 表示势阱的深度。在此模型中，我们通常关心能量 $E$ 介于 $-V_0 < E < 0$ 的束缚态解。 这个模型允许我们将问题简化，仅关注特定区域的量子行为，而忽略一些复杂的、我们不关心的无穷区域或特定点（如库仑势在原点的无穷深）。

其定态薛定谔方程将分为三个区域进行求解，并需要满足波函数及其一阶导数在区域边界处（ $x=\pm A$）连续的条件。我们将于下节课系统地探讨这个模型的求解方法。